曲線y=f(x)を区間[a,b]でx軸の周りに回転させたときの，側面積…f(a)=f(b)=0ならば表面積に等しい…は
S=2π∫a by√(1+(dy/dx)2)dx…(1)（断面積=2πyと幅「dx」の微小な曲線の長さ＝√(1+(dy/dx)2の積が，「周囲の」側面積）
半径rの円の方程式 x2+y2=r2より，y>0の部分はy=√(r2-x2)=(r2-x2)1/2．これより，
y'=1/2(r2-x2)-1/2・(-2x)=-x/(r2-x2)1/2=-x/y(1)より，
S=2π∫-r ry√(1+(-x/y)2)dx =4π∫0 ry√(1+(-x/y)2)dx =4π∫0 ry√(x2+y2)/ydx
=4π∫0 r√(x2+y2)dx =4π∫0 rrdx =4πr∫0 rdx =4πr[x]0 r=4πr2